Cho dãy số (un) có u1 = 2 va u(n+1) = 10un - 9n + 1 (n lớn hơn hoặc bằng 1)

1. Gọi $\left(v_n\right)$ là dãy số thỏa mãn: $u_n=v_n+n\left(n\ge 1\right).$

Khi đó, $u_{n+1}=10u_n-9n+1\iff v_{n+1}+n+1=10\left(v_n+n\right)-9n+1\iff v_{n+1}=10v_n$

$\Rightarrow v_n$ là cấp số nhân có số hạng đầu $v_1=u_1-1=1$ và công bội q = 10

$\Rightarrow v_n={1.10}^{n-1}={10}^{n-1}\Rightarrow u_n={10}^{n-1}+n$

Vậy số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_n={10}^{n-1}+n.$

2. Ta có $u_k=100006\Rightarrow {10}^{k-1}+k=100006$

$\iff {10}^{k-1}+k=100000+6\iff {10}^{k-1}+k={10}^5+6\iff k=6.$

Vậy số hạng $u_k=100006$  là số hạng thứ 6 của dãy.

3. Ta có

$$\begin{gathered} u_1={10}^0+1 \\ {u}_2={10}^1+2 \\ {u}_3={10}^2+3 \\ \begin{array}{l}\mathrm{....}\\ u_{100}={10}^{99}+100\end{array} \end{gathered}$$

=>   Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

$\begin{array}{l}{S}_{100}=u_1+u_2+u_3+...+u_{100}={10}^0+1+{10}^1+2+{10}^2+3+...+{10}^{99}+100\\ \iff S_{100}=\left({10}^0+{10}^1+{10}^2+...+{10}^{99}\right)+\left(1+2+3+...+100\right)\\ \iff S_{100}={10}^0.\frac{{10}^{100}-1}{10-1}+\frac{\left(1+100\right).100}{2}=\frac{{10}^{100}-1}{9}+5050\end{array}$

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là $S_{100}=\frac{{10}^{100}-1}{9}+5050.$