Trong không gian với hệ tọa độ cho Điểm nằm trên mặt phẳng sao cho nhỏ nhất Tính

Đáp án A

Phương pháp giải: +) Xác định điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

+) Khi đó, $M{A}^2+M{B}^2-M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2-{\overrightarrow{MC}}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2$

$=M{I}^2+2\overrightarrow{MI}.\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}\right)+I{A}^2+I{B}^2-I{C}^2=M{I}^2+I{A}^2+I{B}^2-I{C}^2$

 $M{A}^2+M{B}^2-M{C}^2$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ ngắn nhất $\iff M$ là hình chiếu vuông góc của I lên $\left(Oxy\right)$.

Giải chi tiết:

$A\left(-3;0;0\right),B\left(0;0;3\right),C\left(0;-3;0\right)$

+) Xác định điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$:

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BC}\iff \left\{\begin{array}{l}-3-x_I=0-0\\ 0-y_I=-3-0\\ 0-z_I=0-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_I=-3\\ y_I=3\\ z_I=3\end{array}\right.\Rightarrow I\left(-3;3;3\right)$

+) Khi đó, $M{A}^2+M{B}^2-M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2-{\overrightarrow{MC}}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2$

$=M{I}^2+2\overrightarrow{MI}.\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}\right)+I{A}^2+I{B}^2-I{C}^2=M{I}^2+I{A}^2+I{B}^2-I{C}^2$

$M{A}^2+M{B}^2-M{C}^2$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ ngắn nhất $\iff M$ là hình chiếu vuông góc của I lên $\left(Oxy\right)$.

$\iff M\left(-3;3;0\right)\Rightarrow a^2+b^2-c^2={\left(-3\right)}^2+3^2-0=18$