. Công ty sữa Vinamilk thiết kế các sản phẩm dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình

Đáp án D

Ta có 180ml = 180cm³.

Gọi chiều dài của đáy hộp là x (cm), x > 0, khi đó chiều rộng của đáy hộp là $\frac{2}{3}x\left(cm\right)$.

Gọi chiều cao của hộp chữ nhật là h (cm), h > 0.

Ta có thể tích của khối hộp chữ nhật là $V=x.\frac{2}{3}x.h=180\left(c{m}^3\right)\Rightarrow h=\frac{270}{x^2}\left(cm\right)$.

Diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật là

$S_{TP}=2.x.\frac{2}{3}x+2.x.\frac{270}{x^2}+2.\frac{2}{3}x.\frac{270}{x^2}\left(c{m}^2\right)=\frac{4}{3}{x}^2+\frac{900}{x}\left(c{m}^2\right)=f\left(x\right)$.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm x dương để hàm số $f\left(x\right)=\frac{4}{3}{x}^2+\frac{900}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương $\frac{4}{3}{x}^2, \frac{450}{x}, \frac{450}{x}$, ta có

$\frac{4}{3}{x}^2+\frac{450}{x}+\frac{450}{x}\ge 3\sqrt[3]{\frac{4}{3}{x}^2.\frac{450}{x}.\frac{450}{x}}\iff f\left(x\right)\ge 3\sqrt[3]{270000},\forall x>0$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{4}{3}{x}^2=\frac{450}{x}=\frac{450}{x}\iff x=\frac{\sqrt[3]{2700}}{2}\approx 6,96\left(cm\right)$.