Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a. Gọi M là điểm

Câu hỏi :

Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a. Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh AB, (P) qua M và song song với SA, BC chia khối chóp S.ABC thành hai phần. Biết thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi (P) là hình thoi. Tính thể tích phần chứa đỉnh A.

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC.

Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SC, AC.

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a $\Rightarrow AO=\frac{2}{3}AI=\frac{2}{3}.\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Vì SABC là hình chóp đều nên $SO\perp \left(ABC\right)$.

Xét tam giác vuông SOA có: $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\frac{a\sqrt{69}}{3}$.

Ta có: $V_{SABC}=\frac{1}{3}SO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{69}}{3}.\frac{{\left(2a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{23}}{3}$.

MNPQ là hình thoi $\Rightarrow MN=MQ=x$.

Ta có: $\frac{MN}{SA}+\frac{MQ}{BC}=1\iff \frac{x}{3a}+\frac{x}{2a}=1\iff x=\frac{6a}{5}$.

Đặt $\frac{AM}{AB}=t$. Ta có công thức tính nhanh $\frac{V_{SAMNPQ}}{V_{S.ABC}}=t^2\left(3-2t\right)$.

Áp dụng $\frac{AM}{AB}=\frac{MQ}{BC}=\frac{3}{5}=t$

$\Rightarrow \frac{V_{SAMNPQ}}{V_{S.ABC}}=t^2\left(3-2t\right)=\frac{81}{125}\Rightarrow V_{SAMNPQ}=\frac{81}{125}{V}_{S.ABC}=\frac{27\sqrt{23}{a}^3}{125}$.