Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, thỏa mãn f(2x^3 + x^2 + 1) = x + 2 với mọi x

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Khi $x\ge 0$, ta có:

$f\left(2x^3+x^2+1\right)=x+2\iff \left(6x^2+2x\right)f\left(2x^3+x^2+1\right)=\left(6x^2+2x\right)\left(x+2\right)\left(*\right)$.

Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của (*) ta được

$$\begin{gathered} \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(6x^2+2x\right)f\left(2x^3+x^2+1\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(6x^2+2x\right)\left(x+2\right)dx \\ \iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(2x^3+x^2+1\right)d\left(2x^3+x^2+1\right)=\frac{49}{6} \\ \stackrel{t=2x^3+x^2+1}{\iff }\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{49}{6}\iff \underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{49}{6} \end{gathered}$$