Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^2 (x^2 - 2x) với mọi x thuộc R

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x^2-2x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x^2-8x+m\right)$. Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(2x-8\right)f^{\text{'}}\left(x^2-8x+m\right)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ f^{\text{'}}\left(x^2-8x+m\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x^2-8x+m=1\left(1\right)\\ x^2-8x+m=0\left(2\right)\\ x^2-8x+m=2\left(3\right)\end{array}\right.$

Để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị thì g'(x) = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt

$\iff$phương trình (2); (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 4$\iff \left\{\begin{array}{l}16-m>0\\ 18-m>0\\ m-16\ne 0\\ m-18\ne 0\end{array}\right.\iff m<16$

Vì m nguyên dương nên có 15 giá trị của m thỏa mãn.