Cho a, b, c là ba số thực dương, a > 1 thỏa mãn log 2 a (bc) + log a (b^3c^3 + bc/4)^2

Đáp án A

Áp dụng bất đẳng thức ${\left(x+y\right)}^2\ge 4xy$, ta được

${\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2\ge b^4{c}^4\Rightarrow {\log }_a{\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2\ge 4{\log }_a\left(bc\right)$

Do đó với $\forall a>1,b,c>0$

${\log }_a^2\left(bc\right)+{\log }_a{\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2+4+\sqrt{9-c^2}\ge {\log }_a^2\left(bc\right)+4{\log }_a\left(bc\right)+4+\sqrt{9-c^2}$

$\iff {\log }_a^2\left(bc\right)+{\log }_a{\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2+4+\sqrt{9-c^2}\ge {\left[{\log }_a^{}\left(bc\right)+2\right]}^2+\sqrt{9-c^2}\ge 0$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}{b}^3{c}^3=\frac{bc}{4}\\ {\log }_a\left(bc\right)=-2\\ c^2=9\\ a>1\\ b>0\\ c>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}\\ b=\frac{1}{6}\\ c=3\end{array}\right.$

Khi đó $T=a+3b+2c=\sqrt{2}+\frac{1}{2}+6\approx 7,91$. Vậy giá trị của T gần 8 nhất.