Một mặt cầu có tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC có

Bán kính mặt cầu $OC=R=1$. Đặt $AB=a>0$.

Ta có OA = OB = OC = 1.

Mà tam giác ABC đều $\Rightarrow OA=OB=OC=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ nên suy ra $a=\sqrt{3}$.

Từ giả thiết ta có S.ABC là tứ diện đều $\Rightarrow CP=SP=\frac{3}{2}$(P là trung điểm AB)

$\Rightarrow OP=\frac{1}{3}CP=\frac{1}{2}$

Ta có tam giác SOP vuông tại O có đường cao OH

$\Rightarrow OH.SP=SO.PO$ và $SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{2}$,

$\Rightarrow d=OH=\frac{SO.PO}{SP}=\frac{\sqrt{2}.\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Vì $SO>1\Rightarrow \left(SAB\right)\cap \left(S\right)$ là đường tròn bánh kính $r=\sqrt{R^2-d^2}=\frac{\sqrt{7}}{3}$

Xét tam giác vuông SOP có: $HP=\frac{O{P}^2}{SP}=\frac{1}{6}, SH=\frac{S{O}^2}{SP}=\frac{4}{3}$

Xét tam giác vuông HPA có: $HB=HA=\frac{\sqrt{7}}{3}$

Giao tuyến của (S) vói amwjt bên (SAB) là cung IJ.

$$\begin{gathered} \cos \widehat{AHB}=\frac{H{A}^2+H{B}^2-A{B}^2}{2HA.HB}=-\frac{13}{14} \\ \Rightarrow \widehat{AHB}\approx 2,76\left(rad\right)=sđ\stackrel{⏜}{AB} \end{gathered}$$

Góc ngoài đường tròn là $\frac{\pi }{3}=\widehat{ASB}=\frac{sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{IJ}}{2}$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{IJ}=sđ\stackrel{⏜}{AB}-\frac{2\pi }{3}\approx 2,76-\frac{2\pi }{3}$ => độ dài cung IJ: $l_1\approx \left(2,76-\frac{2\pi }{3}\right)\frac{\sqrt{7}}{3}$

=> tổng độ dài l các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là:

$l\approx 3l_1=\sqrt{7}\left(\frac{\pi }{3}-0,38\right)\approx 1,77$