Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0), C(2; -3; 2). Tập hợp tất cả

Đáp án A

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;-1\right), \overrightarrow{BC}=\left(3;-5;2\right)$.

Ta thấy $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng. M cách đều hai điểm A, B nên điểm M nằm trên mặt phẳng trung trực của AB. M cách đều hai điểm B, C nên điểm M nằm trên mặt phẳng trung trực của BC.

Do đó tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A, B, C là giao tuyến của hai mặt phẳng trung trực của AB và BC. Gọi (P), (Q) lần lượt là các mặt phẳng trung trực của AB và BC.

Ta có: $K\left(0;\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$ là trung điểm AB; $N\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};1\right)$ là trung điểm BC.

+) (P) đi qua K và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên (P): $-2x+\left(y-\frac{3}{2}\right)-\left(z-\frac{1}{2}\right)=0$ hay (P): 2x - y + z + 1 = 0.

+) (Q) đi qua N và nhận $\overrightarrow{BC}=\left(3;-5;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên (Q): $3\left(x-\frac{1}{2}\right)-5\left(y+\frac{1}{2}\right)+2\left(z-1\right)=0$ hay (Q): 3x - 5y + 2z - 6 = 0.

Ta có $d=\left(P\right)\cap \left(Q\right)\Rightarrow d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right]=\left(-3;1;7\right)$.

Chọn y = 0 ta sẽ tìm được z = -18, z = 15 nên $\left(-8;0;15\right)\in d$.

Vậy $\left\{\begin{array}{l}x=-8-3t\\ y=t\\ z=15+7t\end{array}\right.$.