Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 3; -2), B(0; 4; 7), C(5; -1; 2) và mặt phẳng

Đáp án B

Gọi $I\left(x_I;y_I;z_I\right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}1-x_I-2\left(0-x_I\right)+3\left(5-x_I\right)=0\\ 3-y_I-2\left(4-y_I\right)+3\left(-1-y_I\right)=0\\ -2-z_I-2\left(7-z_I\right)+3\left(2-z_I\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_I=8\\ y_I=-4\\ z_I=-5\end{array}\right.\Rightarrow I\left(8;-4;-5\right)$

Khi đó

$\left|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)+3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)\right|$

          $=\left|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}\right|=\left|2\overrightarrow{MI}\right|=2MI$

Biểu thức $\left|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy M(a; b; c) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Mặt khác, mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P), suy ra $\Delta$: $\left\{\begin{array}{l}x=8+t\\ y=-4+t\\ z=-5+t\end{array}\right.$

Khi đó $M=\Delta \cap \left(P\right)$, tọa độ của M là nghiệm của hệ sau

$\left\{\begin{array}{l}x=8+t\\ y=-4+t\\ z=-5+t\\ x+y+z-2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=9\\ y=-3\\ z=-4\end{array}\right.\Rightarrow M\left(9;-3;-4\right)$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}a=9\\ b=-3\\ c=-4\end{array}\right.\Rightarrow T=a^2+b^2+c^2=106$.