Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình m.16^x - (2m + 1).12^x

Đáp án C

Xét bất phương trình:

$m{.16}^x-\left(2m+1\right){.12}^x+m{.9}^x\le 0\iff m.{\left(\frac{16}{9}\right)}^x-\left(2m+1\right).{\left(\frac{12}{9}\right)}^x+m\le 0\left(1\right)$.

Đặt $t={\left(\frac{4}{3}\right)}^x$. Với $x\in \left(0;1\right)\Rightarrow t\in \left(1;\frac{4}{3}\right)$.

Khi đó bất phương trình trở thành $m.t^2-\left(2m+1\right).t+m\le 0\iff m\le \frac{t}{{\left(t-1\right)}^2}\left(2\right)$ .

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t}{{\left(t-1\right)}^2}$ trên khoảng $\left(1;\frac{4}{3}\right)$ có $f^{\text{'}}\left(t\right)=-\frac{t+1}{{\left(t-1\right)}^3}<0,\forall t\in \left(1;\frac{4}{3}\right)$.

Khi đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;1\right)$ Û bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi $t\in \left(1;\frac{4}{3}\right)\iff m\le f\left(\frac{4}{3}\right)=12$.

Vậy số các giá trị nguyên dương của m thỏa mãn bài toán là 12.