Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy N, M lần lượt là trung điểm AB và AC. Tính

+) Gọi P là trung điểm đọan AN.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}CN//PM\\ PM\subset \left(DMP\right)\end{array}\right.\Rightarrow CN//\left(DMP\right)$.

Suy ra $d\left(CN,DM\right)=d\left(CN,\left(DMP\right)\right)=d\left(N,\left(DMP\right)\right)$

$=d\left(A,\left(DMP\right)\right)$.

+) Khi đó $\frac{V_{A.DMP}}{V_{A.BCD}}=\frac{AP}{AB}.\frac{AM}{AC}.\frac{AD}{AD}=\frac{1}{8}$, mà tứ diện ABCD đều nên $V_{A.BCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

$\Rightarrow V_{A.DMP}=\frac{a^3\sqrt{2}}{96}\Rightarrow \frac{1}{3}d\left(A,\left(DMP\right)\right).S_{\Delta DMP}=\frac{a^3\sqrt{2}}{96}$.

+) Lại có tam giác ABC đều nên $DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $CN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MP=\frac{a\sqrt{3}}{4}$ đều nên.

Xét tam giác DPA có $D{P}^2=A{D}^2+A{P}^2-2AD.AP.\cos \widehat{PAD}=a^2+{\left(\frac{a}{4}\right)}^2-2.a.\frac{a}{4}.\cos 60°=\frac{13a^2}{16}$

$\Rightarrow DP=\frac{a\sqrt{13}}{4}$.

Nửa chu vi tam giác DMP là: $p=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{4}+\frac{a\sqrt{13}}{4}}{2}=\frac{a\left(\sqrt{13}+3\sqrt{3}\right)}{8}$

$\Rightarrow S_{\Delta DMP}=\sqrt{p\left(p-DM\right)\left(p-MP\right)\left(p-DP\right)}=\frac{a^2\sqrt{35}}{32}$.

Vậy $d\left(A,\left(DMP\right)\right)=\frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{96}}{\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{35}}{32}}=\frac{a\sqrt{70}}{35}\Rightarrow d\left(CN,DM\right)=\frac{a\sqrt{70}}{35}$.