Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh bằng a. Trên các tia AA'; BB'; CC'

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB.

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có tọa độ điểm $A_1\left(-\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right); B_1\left(\frac{a}{2};0;a\right); C_1\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{3a}{2}\right)$. Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là vectơ đơn vị trên trục Oz: $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\left(a;0;\frac{a}{2}\right); \overrightarrow{A_1{C}_1}=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$

$\Rightarrow \left[\overrightarrow{A_1{B}_1};\overrightarrow{A_1{C}_1}\right]=a^2\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};-\frac{3}{4};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Þ Mặt phẳng $\left(A_1{B}_1{C}_1\right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;\sqrt{3};-2\right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và $\left(A_1{B}_1{C}_1\right)$ ta có:

$\cos \alpha =\left|\cos \left(\overrightarrow{k};\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{k}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{k}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{2}{1.\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha =45°$.