Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

Câu hỏi :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right) : 2x-y-2z-2=0$ và mặt phẳng $\left(Q\right):2x-y-2z+10=0$  song song với nhau. Biết $A(1;2;1)$  là điểm nằm giữa hai mặt phẳng $\left(P\right)$  và $\left(Q\right)$  . Gọi $\left(S\right)$  là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng$\left(P\right)$  và $\left(Q\right)$ . Biết rằng khi $\left(S\right)$  thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

Ta thấy $M(1;0;0)$ là một điểm thuộc $\left(P\right)$
Vì $\left(P\right)//\left(Q\right)$ nên

$d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(M,\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2+10\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=4$
Giả sử $I(a;b;c)$ là tâm của $\left(S\right)$. Vì $\left(S\right)$ tiếp xúc với cả $\left(P\right) và \left(Q\right)$ nên bán kính mặt cầu $\left(S\right)$ là $R=\frac{d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)}{2}=\frac{4}{2}=2$
Do đó IA=2 nên I luôn thuộc mặt cầu (T) tâm A, bán kính 2.
Ngoài ra, $$\begin{gathered} d\left(I,\left(P\right)\right)=d\left(I,\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2a-b-2c-2\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{(-2)}^2}}=\frac{\left|2a-b-2c+10\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{(-2)}^2}} \\ \iff \left|2a-b-2c-2\right|=\left|2a-b-2c+10\right|\iff 2a-b-2c-2=-\left(2a-b-2c+10\right) \\ \iff 2a-b-2c+4=0 \end{gathered}$$

Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng $\left(R\right): 2x-y-2z+4=0$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì A, (R) cố định nên H cố định.
Ta có: $AH=d\left(A,\left(R\right)\right)=\frac{\left|2.1-2-2.1+4\right|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{2}{3}$
Mà $AH\perp \left(R\right)\Rightarrow AH\perp HI$, do đó $∆AHI$vuông tại H nên 
$HI=\sqrt{A{I}^2-A{H}^2}=\sqrt{2^2-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$
Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R), bán kính $r=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
Chọn A