Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C1 n + C 2 n = 55. Số hạng không chứa x

Đáp án B

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}n\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ n\ge 2\end{array}\right.$

Ta có $C_n^1+C_n^2=55\iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=55\iff n^2+n-110=0\iff \left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-11\end{array}\right.$.

Do n là số nguyên dương nên chọn n = 10.

Với n = 10 thì ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{\left(x^3\right)}^{10-k}.{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^k=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{2}^k{x}^{30-5k}$.

Số hạng thứ k + 1 có dạng $T_{k+1}=C_{10}^k{2}^k{x}^{30-5k}\left(0\le k\le 10\right)$.

Giả sử số hạng thứ k + 1 không chứa x khi đó $30-5k=0\iff k=6$.

Số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^n$ bằng: $C_{10}^6{2}^6=13440$.