Cho hàm số y = x^2 + ax + b khi x > = 2 và x^3 - x^2 - 8x + 10 khi x < 2, biết hàm số

Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 thì hàm số phải liên tục tại x = 2.

Do đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^3-x^2-8x+10\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2+ax+b\right)\iff -2=4+2a+b\iff 2a+b=-6$.

Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 nên

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2} \\ \iff \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^3-x^2-8x+10-\left(-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2+}{\lim }\frac{x^2+ax+b-\left(4+2a+b\right)}{x-2} \\ \iff \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+x-6\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x+2+a\right) \\ \iff 4+a=0\iff a=-4 \end{gathered}$$

Suy ra b = 2. Vậy ab = -8.