Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm đa thức bậc ba và parabol

Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là y = 2, y = 0 nên ta xét hai hàm số là $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+2; y=m{x}^2+nx$.

Vì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là x = - 1; x = 1; x = 2 nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+2=m{x}^2+nx\iff a\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$. Với x = 0 ta được $2a=2\Rightarrow a=1$

Vậy diện tích phần tô đậm là: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|dx=\frac{37}{12}$.