Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1; 0; 1), B(1; 0 -3),

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(0;0;-4\right)=-4\left(0;0;1\right)$. Hay AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Mặt phẳng (ABCD) có một vectơ pháp tuyến $\left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]=\left(0;4;0\right)=4\left(0;1;0\right)$, hay $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Vì $\left\{\begin{array}{l}AD\perp AB\\ AD\subset \left(ABCD\right)\end{array}\right.$ nên $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{j}\end{array}\right.$.

Đường thẳng AD có vectơ chỉ phương là $\left[\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right]=\left(1;0;0\right)$.

Phương trình đường thẳng AD là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=0\\ z=1\end{array}\right.$. Do đó $D\left(1+t;0;1\right)$.

Mặt khác $AD=AB\iff \sqrt{t^2+0^2+{\left(1-1\right)}^2}=4\iff \left[\begin{array}{l}t=4\\ t=-4\end{array}\right.$.

Vì điểm D có hoành độ âm nên D(-3; 0; 1).

Vì tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm BD nên I = (-1; 0; -1).

Đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$, nên phương trình đường thẳng d là: $d:\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=t\\ z=-1\end{array}\right.$.