Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 9^x - (m - 1)3^x - m - 1 = 0

Đặt $t=3^x$. Vì $x\in \left(0;1\right)$ nên $t\in \left(1;3\right)$ và ứng với một giá trị $t\in \left(1;3\right)$ thì có một nghiệm $x\in \left(0;1\right)$.

Phương trình $9^x-\left(m-1\right)3^x-m-1=0$ trở thành:

$t^2-\left(m-1\right)t-m-1=0\iff m=\frac{t^2+t-1}{t+1}=f\left(t\right),t\in \left(1;3\right)$.

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+t-1}{t+1}$ và đường thẳng (d); y = m trên khoảng $t\in \left(1;3\right)$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{t^2+2t+2}{{\left(t+1\right)}^2}>0,\forall t\in \left(1;3\right)$.

Bảng biến thiên: