Cho phương trình (log 2 2 x - log 2 x^3/4) căn bậc 2 (e^x - m) = 0 . Gọi S là tập hợp giá trị m nguyên

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ e^x\ge m\end{array}\right.$ 

Ta có $\left({\log }_2^{2}x-{\log }_2\frac{x^3}{4}\right)\sqrt{e^x-m}=0\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_2^{2}x-{\log }_2\frac{x^3}{4}=0\\ \sqrt{e^x-m}=0\end{array}\right.$ 

+) ${\log }_2^{2}x-{\log }_2\frac{x^3}{4}=0\iff {\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{2}x=1\\ {\log }_{2}x=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=4\end{array}\right.$

+) $\sqrt{e^x-m}=0\iff e^x=m$ 

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: $m\le 0,$ điều kiện của phương trình là x > 0, phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 2 và x = 4.

Trường hợp 2: $0<m\le 1,$ điều kiện của phương trình là x > 0 

Khi đó, phương trình$e^x=m$ có 1 nghiệm là $x=\ln m\le 0$ nên phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 2 và x = 4 

Trường hợp 3: m > 1  từ $e^x\ge m\Rightarrow x\ge \ln m$ 

Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $\iff 2\le \ln m<4\iff e^2\le m<e^4$ 

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = lnm và x = 4 

Suy ra, các giá trị m để phương trình có 2 nghiệm là $m\le 1$ và $e^2\le m<e^4$ 

Do đó các giá trị nguyên $m\in \left[-10;10\right]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là

$S=\left\{-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;8;9;10\right\}$ 

Vậy tổng các phần tử của S là – 27.