Cho hình chóp S.ABC có góc BAC = 90 độ, AB = 3a, AC = 4a. Hình chiếu của đỉnh S là một

Câu hỏi :

Cho hình chóp S.ABC có $\widehat{BAC}={90}^o,AB=3a,AC=4a.$ Hình chiếu của đỉnh S là một điểm H nằm trong tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau của hình chóp là $d\left(SA,BC\right)=\frac{6a\sqrt{34}}{17},d\left(SB,CA\right)=\frac{12a}{5},d\left(SC,AB\right)=\frac{12a\sqrt{13}}{13}.$ Tính thể tích khối chóp S.ABC.

* Đáp án

D

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi M, N, P là các điểm thỏa mãn A, B, C lần lượt là trung điểm của MN, NP, PM.

Ta có $BC//MN\Rightarrow BC//\left(SMN\right)$ 

Mà $SA\subset \left(SMN\right)\Rightarrow d\left(BC,SA\right)=d\left(B,\left(SMN\right)\right)$ 

Ta có $d\left(B,\left(SMN\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(P,\left(SMN\right)\right)$

$\Rightarrow d\left(P,\left(SMN\right)\right)=\frac{12a\sqrt{34}}{17}$

Dễ thấy $d\left(P,MN\right)=2d\left(A;BC\right)=\frac{24}{5}a$

Gọi $\phi =\left(\widehat{\left(SMN\right),\left(MNP\right)}\right)$ 

Ta có $\sin \phi =\frac{d\left(P,\left(SMN\right)\right)}{d\left(P,MN\right)}=\frac{5\sqrt{34}}{34}\Rightarrow \cos \phi =\sqrt{1-{\sin }^2\phi }=\frac{3\sqrt{34}}{34}\Rightarrow \tan \phi =\frac{5}{3}$ 

Mặt khác ta có $\tan \phi =\frac{SH}{d\left(H,MN\right)}\Rightarrow d\left(H,MN\right)=\frac{3}{5}SH$ 

Tương tự ta có $d\left(H,MP\right)=\frac{2}{3}.SH,d\left(H,NP\right)=\frac{3}{4}.SH$  

Ta có $S_{\Delta MNP}=S_{\Delta HMN}+S_{\Delta HNP}+S_{\Delta HMP}\Rightarrow SH=3a$ 

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}=6a^3$