Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn cos x.f'(x) + sĩn.f(x) = 2sinxcos^3x

Xét $x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Chia 2 vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được

$\frac{\cos x.f\text{'}\left(x\right)+\sin x.f\left(x\right)}{{\cos }^{2}x}=2\sin x.\cos x\iff \left(\frac{f\left(x\right)}{\cos x}\right)\text{'}=\sin 2x\iff \frac{f\left(x\right)}{\cos x}=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ 

Vì $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{9\sqrt{2}}{4}$ nên ta được $C=\frac{9}{2}$ suy ra $f\left(x\right)=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{9}{2}\right)\cos x$ 

Vậy $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{19}{8}\in \left(2;3\right)$