Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C, góc ABc = 60 độ,

Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng $\left(\alpha \right).$ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+8}{-4}\\ x+z-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=0\end{array}\right.$. Vậy điểm A(1; 2; 0) 

Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ

$$\begin{gathered} B\left(3+t;4+t;-8-4t\right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(t+2;t+2;-8-4t\right) \end{gathered}$$  

Theo giả thiết thì $t+3>0\iff t>-3$ 

Do $AB=3\sqrt{2}$, ta có ${\left(t+2\right)}^2+{\left(t+2\right)}^2+16{\left(t+2\right)}^2=18\Rightarrow t=-1$ nên B(2; 3; -4) 

Theo giả thiết thì $AC=AB\sin {60}^o=\frac{3\sqrt{6}}{2};BC=AB.\cos {60}^o=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 

Ta có $\left\{\begin{array}{l}C\in \left(\alpha \right)\\ AC=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\ BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ {\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+c^2=\frac{27}{2}\\ {\left(a-2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c+4\right)}^2=\frac{9}{2}\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ 2a+2b-8c=9\\ {\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+c^2=\frac{27}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2}\\ b=3\\ c=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$.

Vậy $C\left(\frac{7}{2};3;-\frac{5}{2}\right)$ nên a + b + c =4