Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a, AA'

Gọi điểm D sao cho ABCD là hình bình hành và O là giao điểm

của AC và BD. Ta có $AB\text{'}//DC\text{'}$ nên $AB\text{'}//\left(BDC\text{'}\right)$ .

Suy ra $d\left(AB\text{'},BC\text{'}\right)=d\left(AB\text{'},\left(BDC\text{'}\right)\right)=d\left(A,\left(BDC\text{'}\right)\right)=d\left(C,\left(BDC\text{'}\right)\right)$ 

Trong (ABCD), kẻ CK vuông góc BD tại K; trong (KCC’), kẻ CH vuông góc C’K tại H.

Khi đó CH vuông góc mp(BDC’) nên

Trong tam giá COD vuông tại C có:

$CD=AB=a,OC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2},CK$ là đường cao nên

$\frac{1}{C{K}^2}=\frac{1}{C{O}^2}+\frac{1}{C{D}^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{a^2}$

Trong tam giác CC'K vuông tại C có CC' = AA' = $a\sqrt{3}$,

CH là đường cao nên $\frac{1}{C{H}^2}=\frac{1}{C{K}^2}+\frac{1}{CC{\text{'}}^2}=\frac{5}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{16}{3a^2}\Rightarrow CH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow d\left(AB\text{'},BC\text{'}\right)=d\left(C,\left(BDC\text{'}\right)\right)=CH=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Vậy $d\left(AB\text{'},BC\text{'}\right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$