Xét các số phức z thỏa mãn (z - 2 + 5i)/(z + z (có gạch ngang trên đầu)i + ) là số thực. Tập hợp

Giả sử $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ 

Khi đó $\frac{z-2+6i}{\left(z+\overline{z}\right)i+2}=\frac{x-2+\left(y+6\right)i}{2+2xi}=\frac{\left[x-2+\left(y+6\right)i\right]\left(1-xi\right)}{2\left(1+x^2\right)}$ 

$=\frac{x-2+x\left(y+6\right)+\left[-x\left(x-2\right)+y+6\right]i}{2\left(1+x^2\right)}$ 

Ta có $\frac{z-2+6i}{\left(z+\overline{z}\right)i+2}$ là số thực $\iff -x\left(x-2\right)+y+6=0$ 

$\iff y=x^2-2x-6\iff 2y=\frac{1}{2}.4x^2-2.2x-6$ 

Số phức 2z có điểm biểu diễn $M\left(2x;2y\right)\Rightarrow$Quỹ tích các điểm M là parabol có phương trình $\left(P\right):y=\frac{1}{2}{x}^2-2x-6$ 

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục hoành, ta có

$\frac{1}{2}{x}^2-2x-6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=6\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành là

$S=\underset{-2}{\overset{6}{\int }}\left|\frac{1}{2}{x}^2-2x-6\right|dx=-\underset{-2}{\overset{6}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^2-2x-6\right)dx=\frac{128}{3}$