Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có đúng 5 điểm cực trị?

Đáp án A

Phương pháp giải: Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ có n điểm cực trị dương thì hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$ có $n+1$ điểm cực trị.

Giải chi tiết:

Để hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)$ có đúng 5 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left(x\right)$ phải có 2 điểm cực trị dương ⇒ Phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ phải có 2 nghiệm bội lẻ dương phân biệt.

Xét $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\left(nghiemboi3\right)\\ x^2+\left(4m-5\right)x+m^2-7m+6=0\left(*\right)\end{array}\right.$.

Do đó phương trình (*) cần phải có 1 nghiệm bội lẻ dương khác 1.

Ta có:

$\Delta ={\left(4m-5\right)}^2-4\left(m^2-7m+6\right)$ $=16m^2-40m+25-4m^2+28m-24$ $=12m^2-12m+1$

Để (*) có 1 nghiệm bội lẻ dương khác 1 thì:

$\left\{\begin{array}{l}\Delta =12m^2-12m+1>0\\ P=m^2-7m+6\le 0\\ 1+4m-5+m^2-7m+6\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>\frac{3+\sqrt{6}}{6}\\ m<\frac{3-\sqrt{6}}{6}\end{array}\right.\\ 1\le m\le 6\\ m\ne 1\\ m\ne 2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1<m\le 6\\ m\ne 2\end{array}\right.$