Tìm tất cả các gía trị thực của tham số m sao cho phương trình

Đáp án A

Phương pháp giải: Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\\ P>0\\ S>0\end{array}\right.$

Giải chi tiết:

Phương trình $\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m+4=0$ có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\\ x_1{x}_2>0\\ x_1+x_2>0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\left(1\right)\\ 4{\left(m+1\right)}^2-4\left(m-1\right)\left(m+4\right)>0\left(2\right)\\ \frac{m+4}{m-1}>0\left(3\right)\\ \frac{m+1}{m-1}>0\left(4\right)\end{array}\right.$

Giải (1): $m-1\ne 0\iff m\ne 1$

Giải (2)(2):

$4{\left(m+1\right)}^2-4\left(m-1\right)\left(m+4\right)>0$ $\iff \left(4m^2+8m+4\right)-\left(4m-4\right)\left(m+4\right)>0$

Giải (3):

$\frac{m+4}{m-1}>0\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m+4>0\\ m-1>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m+4<0\\ m-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m>-4\\ m>1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m<-4\\ m<1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-4\end{array}\right.$

Giải (4): $\frac{m+1}{m-1}>0\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m+1>0\\ m-1>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m+1<0\\ m-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m>-1\\ m>1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m<-1\\ m<1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$