Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với mọi tính

Đáp án D

Phương pháp giải: - Thay $x=\frac{1}{t}$, sau đó rút $f\left(\frac{1}{x}\right)$ theo f $f\left(x\right)$ và thế vào giả thiết.

- Tìm $f\left(x\right)$ theo x và tính $\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng phương pháp tích phân 2 vế.

Giải chi tiết:

Ta có:  $2f\left(x\right)+xf\left(\frac{1}{x}\right)=x$, với $x=\frac{1}{t}$ ta có $2f\left(\frac{1}{t}\right)+\frac{1}{t}f\left(t\right)=\frac{1}{t}$ $\Rightarrow f\left(\frac{1}{t}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t}f\left(t\right)\right)$

$\Rightarrow f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}f\left(x\right)\right)$  

Khi đó ta có

$2f\left(x\right)+\frac{1}{2}x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}f\left(x\right)\right)=x\iff 2f\left(x\right)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}f\left(x\right)=x$

$\iff \frac{3}{2}f\left(x\right)=x-\frac{1}{2}\iff \frac{3}{2}\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\left(x-\frac{1}{2}\right)dx$

$\iff \frac{3}{2}\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{9}{8}\iff \underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{3}{4}$