Thể tích của khối đa diện PQRABMN bằng

Đáp án D

Phương pháp giải: - Gọi $P^{\text{'}},Q^{\text{'}},R^{\text{'}}$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left(PQR\right)$ với các cạnh $C{C}^{\text{'}},A{A}^{\text{'}},B{B}^{\text{'}}$.

Chứng minh $P^{\text{'}},Q^{\text{'}},R^{\text{'}}$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $C{C}^{\text{'}},A{A}^{\text{'}},B{B}^{\text{'}}$, đồng thời $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $Q^{\text{'}}{R}^{\text{'}},R^{\text{'}}{P}^{\text{'}},P^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$.

- Đặt $V=V_{ABC.Q^{\text{'}}{R}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}}$, tính $V_{B.R^{\text{'}}PQ}$, $V_{A.Q^{\text{'}}PR}$, $V_{CMN.P^{\text{'}}QR}$ theo V.

- Tính $V_{PQRABMN}=V-V_{B.R^{\text{'}}PQ}-V_{A.Q^{\text{'}}PR}-V_{CMN.P^{\text{'}}QR}$ theo V.

- Tính V và suy ra $V_{PQRABMN}$.

Giải chi tiết:

Gọi $P^{\text{'}},Q^{\text{'}},R^{\text{'}}$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left(PQR\right)$ với các cạnh $C{C}^{\text{'}},A{A}^{\text{'}},B{B}^{\text{'}}$.

Dễ dàng chứng minh được $P^{\text{'}},Q^{\text{'}},R^{\text{'}}$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $C{C}^{\text{'}},A{A}^{\text{'}},B{B}^{\text{'}}$, đồng thời $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $Q^{\text{'}}{R}^{\text{'}},R^{\text{'}}{P}^{\text{'}},P^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$.

Đặt $V=V_{ABC.Q^{\text{'}}{R}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}}$.

Ta có: $S_{R^{\text{'}}PQ}=\frac{1}{4}{S}_{R^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}}$ nên $V_{B.R^{\text{'}}PQ}=\frac{1}{4}{V}_{B.R^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V$.

Tương tự ta có: $V_{A.Q^{\text{'}}PR}=\frac{1}{12}V$.

Ta có: $S_{MNC}=S_{QR{P}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}{S}_{ABC}$ nên $V_{CMN.P^{\text{'}}QR}=\frac{V}{4}$.