Cho f(x) liên tục trên R và f(2) = 1 tích phân bằng

Đáp án

Phương pháp giải: Sử dụng tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số.

Giải chi tiết:

Ta có $A={\int }_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}x=u\\ dv=f^{\text{'}}\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}dx=du\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right.$.

Khi đó $A={\left.x.f\left(x\right)\right|}_0^2-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2f\left(2\right)-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Xét $B=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(2x\right)dx$. Đặt $t=2x\Rightarrow dt=2dx$. Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=1\Rightarrow t=2\end{array}\right.$.

Khi đó ta có $B=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2\Rightarrow \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=4$.