Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới số nghiệm thực của phương trình là

Đáp án

Phương pháp giải: - Đặt $t=x^3-3x$, quan sát đồ thị tìm nghiệm của phương trình $\left|f\left(t\right)\right|=\frac{2}{3}$ tìm các nghiệm $t_i$.

- Khảo sát hàm số $g\left(x\right)=x^3-3x$ suy ra số nghiệm của phương trình $x^3-3x=t_i$.

Giải chi tiết:

Ta có : $\left|f\left(x^3-3x\right)\right|=\frac{2}{3}\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x^3-3x\right)=\frac{2}{3}\\ f\left(x^3-3x\right)=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Đặt $t=x^3-3x$ ta được $\left[\begin{array}{l}f\left(t\right)=\frac{2}{3}\\ f\left(t\right)=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

+) Phương trình $f\left(t\right)=\frac{2}{3}$ có ba nghiệm phân biệt $t_1,t_2,t_3$, trong đó $-2<t_1<0<t_2<2<t_3$.

+) Phương trình $f\left(t\right)=-\frac{2}{3}$ có ba nghiệm phân biệt $t_4,t_5,t_6$, trong đó $t_4<-2<2<t_5<t_6$.

Các nghiệm $t_1,t_2,t_3,t_4,t_5,t_6$ phân biệt.

Xét hàm $g\left(x\right)=x^3-3x$ có $g^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$

BBT :

Từ BBT ta thấy :

+) Phương trình $x^3-3x=t_1\in \left(-2;0\right)$ có 3 nghiệm phân biệt.

+) Phương trình $x^3-3x=t_2\in \left(0;2\right)$ có 3 nghiệm phân biệt.

+) Phương trình $x^3-3x=t_3>2$ có đúng 1 nghiệm.

+) Phương trình $x^3-3x=t_4<-2$ có đúng 1 nghiệm.

+) Phương trình $x^3-3x=t_5>2$ có đúng 1 nghiệm.

+) Phương trình $x^3-3x=t_6>2$ có đúng 1 nghiệm.