Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng

Đáp án

Phương pháp giải: - Gọi H là trung điểm của AC, chứng minh $SH\perp \left(SAC\right),BH\perp \left(SAC\right)$

- Trong $\left(SAB\right)$ kẻ $BI\perp SA$, chứng minh $\angle \left(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\right)=\angle \left(BH;HI\right)$.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AC ta có $SH\perp AC$  (do tam giác SAC cân tại S).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)=AC\\ AH\subset \left(SAC\right),AH\perp AC\end{array}\right.$  $\Rightarrow AH\perp \left(ABC\right)$. Tương tự $BH\perp \left(SAC\right)$.

Trong $\left(SAB\right)$ kẻ $BI\perp SA$ ta có $\left\{\begin{array}{l}SA\perp BI\\ SA\perp BH\left(doBH\perp \left(SAC\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow SA\perp \left(BHI\right)\Rightarrow SA\perp HI$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(SAC\right)=SA\\ BI\subset \left(SAB\right),BI\perp SA\\ HI\subset \left(SAC\right),HI\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\right)=\angle \left(BI;HI\right)$.

Vì $BH\perp \left(SAC\right)\left(cmt\right)\Rightarrow BH\perp HI$ $\Rightarrow \Delta BHI$ vuông tại I.

Do đó $\angle \left(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\right)=\angle \left(BH;HI\right)=\angle BHI$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại B có $AB=BC=2a$ nên $BH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$, $AC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}a$

Ta có: $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{3a^2-2a^2}=a$.

$\Rightarrow HI=\frac{SH.AH}{SA}=\frac{a.\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{6}a}{3}$.

Xét tam giác vuông $BHI$ có $\tan \angle BIH=\frac{BH}{IH}=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}a}{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle BIH={60}^0$.