Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm

Đáp án

Phương pháp giải: Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết:

Ta có

${11}^x+m={\log }_{11}\left(x-m\right)\iff {11}^x+x=x-m+{\log }_{11}\left(x-m\right)$

$\iff {11}^x+x={11}^{{\log }_{11}\left(x-m\right)}+{\log }_{11}\left(x-m\right)\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)={11}^t+t\Rightarrow y^{\text{'}}={11}^t.\ln 11+1>0\forall t$. Khi đó hàm số $y=f\left(t\right)$ đồng biến trên $ℝ$.

Do đó $\left(*\right)\iff x={\log }_{11}\left(x-m\right)$$\iff {11}^x=x-m\iff m=x-{11}^x$.

Xét hàm số $g\left(x\right)=x-{11}^x$ ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=1-{11}^x.\ln 11=0\Rightarrow x={\log }_{11}\frac{1}{\ln 11}=x_0$.

Bảng biến thiên:

Để hpương trình đã cho có nghiệm thì $m<g\left(x_0\right)\approx -0,78$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{\begin{array}{l}-205<m\le -1\\ m\in \mathbb{Z}\end{array}\right.$.