Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là

Phương pháp giải: Tìm ĐKXĐ.

Giải bất phương trình theo hai trường hợp: $\left[\begin{array}{l}x+2>0\\ x+2<0\end{array}\right.$

$\left|A\right|>B\iff \left[\begin{array}{l}A>B\\ A<-B\end{array}\right.$; $\left|A\right|<B\iff -B<A<B$

Từ đó xác định được nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình.

Giải chi tiết: ĐKXĐ: $x\ne -2$

TH1: $x+2>0\iff x>-2$

$\frac{\left|x-1\right|}{x+2}>1\iff \frac{\left|x-1\right|}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}>0$

                 $\iff \frac{\left|x-1\right|-\left(x+2\right)}{x+2}>0$

    $\iff \left|x-1\right|-\left(x+2\right)>0$ (vì $x+2>0$)

     $\iff \left|x-1\right|>x+2$

      $\iff \left[\begin{array}{l}x-1>x+2\\ x-1<-x-2\end{array}\right.$

       $\iff \left[\begin{array}{l}-1>2\left(\text{vô}l{\text{}}^{\text{'}}y\right)\\ 2x<-1\end{array}\right.$

        $\iff x<-\frac{1}{2}$

Kết hợp với điều kiện $x>-2$ $\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $-2<x<-\frac{1}{2}$.

TH2: $x+2<0\iff x<-2$

$\frac{\left|x-1\right|}{x+2}>1\iff \frac{\left|x-1\right|}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}>0$

                  $\iff \frac{\left|x-1\right|-\left(x+2\right)}{x+2}>0$

     $\iff \left|x-1\right|-\left(x+2\right)<0$ (vì $x+2<0$)

      $\iff \left|x-1\right|<x+2$

      $\iff -x-2<x-1<x+2$

      $\iff \left\{\begin{array}{l}-x-2<x-1\\ x-1<x+2\end{array}\right.$

      $\iff \left\{\begin{array}{l}-2x<1\\ 0<3\end{array}\right.$

      $\iff x>-\frac{1}{2}$

Kết hợp với điều kiện $x<-2$, nghiệm của bất phương trình là $x\in \varnothing$.

Kết hợp hai trường hợp ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-2;-\frac{1}{2}\right)$.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là $-1$.