Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên

Phương pháp giải: - Để hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ thì $y^{\text{'}}\ge 0\forall x\in \left(0;+\infty \right)$.

- Cô lập $m$ đưa bất phương trình về dạng $m\le g\left(x\right)\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff m\le \underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right)$.

- Sử dụng BĐT Cô-si tìm $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right)$.

Giải chi tiết: TXĐ: $D=\left(0;+\infty \right)$

Ta có: $y^{\text{'}}=2x+8.\frac{2}{2x}-m=2x+\frac{8}{x}-m$.

Để hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ thì $y^{\text{'}}\ge 0\forall x\in \left(0;+\infty \right)$.

$\iff 2x+\frac{8}{x}-m\ge 0\forall x\in \left(0;+\infty \right)$

$\iff m\le 2x+\frac{8}{x}\forall x\in \left(0;+\infty \right)\left(*\right)$

Đặt $g\left(x\right)=2x+\frac{8}{x}$

$\left(*\right)\iff m\le \underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right)$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2x+\frac{8}{x}\ge 2\sqrt{2x.\frac{8}{x}}=2.4=8$

$\Rightarrow \underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right)=8$, dấu “=” xảy ra $\Rightarrow \underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right)=8$.

Từ đó ta suy ra được $m\le 8$, kết hợp điều kiện $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m\in \left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}$.