Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

Phương pháp giải: - Sử dụng công thức $\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1+z_2}$; $\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$

- Đặt $z=a+bi$, sử dụng công thức $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$, biến đổi rút ra mối quan hệ giữa $a,b$ và kết luận.

Giải chi tiết: Theo bài ra ta có:

$\left|z-1+3i\right|=\left|\overline{z}+1-i\right|$

$\iff \left|z-1+3i\right|=\left|\overline{z}+\overline{1+i}\right|$

$\iff \left|z-1+3i\right|=\left|\overline{z+1+i}\right|$

$\iff \left|z-1+3i\right|=\left|z+1+i\right|$

Đặt $z=a+bi$ ta có:

$\left|a+bi-1+3i\right|=\left|a+bi+1+i\right|$

$\iff \left|\left(a-1\right)+\left(b+3\right)i\right|=\left|a+1+\left(b+1\right)i\right|$

$\iff {\left(a-1\right)}^2+{\left(b+3\right)}^2={\left(a+1\right)}^2+{\left(b+1\right)}^2$

$\iff -2a+1+6b+9=2a+1+2b+1$

$\iff 4a-4b-8=0$

$\iff a-b-2=0$