Tìm điểm I trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải: Điểm I thuộc đường thẳng đi qua tâm của (S) và vuông góc với (P). Tham số hóa tọa độ điểm I và cho $I\in \left(S\right)$.

Giải chi tiết:

Mặt cầu (S) có tâm $A\left(3;-2;1\right)$ và bán kính $R=10$.

$I\in \left(S\right)$ sao cho $d\left(I;\left(P\right)\right)$ lớn nhất $\Rightarrow I\in$ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P).

$\left(d\right)\perp \left(P\right)\Rightarrow {\overrightarrow{u}}_{\left(d\right)}={\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}=\left(2;-2;-1\right)$

=> Phương trình tham số đường thẳng (d): $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2-2t\\ z=1-t\end{array}\right.$.

$I\in \left(d\right)\Rightarrow I\left(3+2t;-2-2t;1-t\right)$

$I\in \left(S\right)\Rightarrow {\left(2t\right)}^2+{\left(-2t\right)}^2+{\left(-t\right)}^2=100\Rightarrow 9t^2=100\iff t=\pm \frac{10}{3}$

$t=\frac{10}{3}\Rightarrow I\left(\frac{29}{3};-\frac{26}{3};-\frac{7}{3}\right)\Rightarrow d\left(I;\left(P\right)\right)=16$

$t=-\frac{10}{3}\Rightarrow I\left(-\frac{11}{3};\frac{14}{3};\frac{13}{3}\right)\Rightarrow d\left(I;\left(P\right)\right)=4$

$\Rightarrow I\left(\frac{29}{3};-\frac{26}{3};-\frac{7}{3}\right)$ là điểm cần tìm.