GTNN của tổng các khoảng cách AM + MC là

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải: Đánh giá theo bất đẳng thức: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{{(a+c)}^2+{(b+d)}^2}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

Giải chi tiết:

$AB=\sqrt{3},AD=\sqrt{6},A{A}^{\text{'}}=2\sqrt{2}$

Gọi độ dài đoạn $DM=x,\left(0\le x\le \sqrt{3}\right)$. Khi đó, tổng các khoảng cách:

$AM+M{C}^{\text{'}}=\sqrt{6+x^2}+\sqrt{8+{\left(\sqrt{3}-x\right)}^2}\ge \sqrt{{\left(\sqrt{6}+\sqrt{8}\right)}^2+{\left(x+\sqrt{3}-x\right)}^2}=\sqrt{6+8\sqrt{3}+8+3}=\sqrt{17+8\sqrt{3}}$

$\Rightarrow AM+M{C}^{\text{'}}\min =\sqrt{17+8\sqrt{3}}$ khi và chỉ khi:

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}}=\frac{x}{\sqrt{3}-x}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2x=3-\sqrt{3}x\iff x=\frac{3}{2+\sqrt{3}}=6-3\sqrt{3}$.