Cho hàm số thỏa mãn và biết rằng với tính

Phương pháp giải: - Rút $f^{\text{'}}\left(x\right)$ từ giả thiết đề bài cho.

- Tìm $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx$, sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$.

- Từ giả thiết $f\left(0\right)=\frac{2}{3}$ tìm hằng số $C$ và suy ra hàm số $f\left(x\right)$.

- Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ với hàm $f\left(x\right)$ vừa tìm được, đưa kết quả về dạng $\frac{a\sqrt{2}+b}{15}$. Đồng nhất hệ số tìm $a,b$ và tính tổng $T=a+b$.

Giải chi tiết: Ta có:

$\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)f^{\text{'}}\left(x\right)=1\forall x\ge -1$

$\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\forall x\ge -1$

$\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\forall x\ge -1$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\int \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)dx=\frac{2}{3}\left(\left(x+1\right)\sqrt{x+1}-x\sqrt{x}\right)+C$

Mà $f\left(0\right)=\frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3}\left(1-0\right)+C=\frac{2}{3}\Rightarrow C=0$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{3}\left(\left(x+1\right)\sqrt{x+1}-x\sqrt{x}\right)$

Khi đó ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{2}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\left(x+1\right)\sqrt{x+1}-x\sqrt{x}\right)dx$

$=\frac{2}{3}.\frac{2}{5}{\left.\left({\left(x+1\right)}^2\sqrt{x+1}-x^2\sqrt{x}\right)\right|}_0^1$

$=\frac{4}{15}\left[\left(4\sqrt{2}-1\right)-\left(1-0\right)\right]$

$=\frac{16\sqrt{2}-8}{15}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=16\\ b=-8\end{array}\right.$