Cho là đa thức thỏa mãn tính

* Hướng dẫn giải

Đáp án: $\frac{4}{25}$

Phương pháp giải: - Tính $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$.

- Sử dụng phương pháp nhân liên hợp.

Giải chi tiết: Đặt $g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}$ ta có $\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=10$ và

$f\left(x\right)-20=g\left(x\right)\left(x-2\right)\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)\left(x-2\right)+20$.

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left[g\left(x\right)\left(x-2\right)+20\right]=10.\left(2-2\right)+20=20$.

Ta có: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}-5}{x^2+x-6}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{6f\left(x\right)+5-125}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left[{\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)}^2+5\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}+25\right]}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{6\left[f\left(x\right)-20\right]}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left[{\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)}^2+5\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}+25\right]}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}\frac{6}{\left(x+3\right)\left[{\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)}^2+5\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}+25\right]}$

$=10.\frac{6}{\left(2+3\right)\left[{\left(\sqrt[3]{6.20+5}\right)}^2+5\sqrt[3]{6.20+5}+25\right]}=\frac{4}{25}$.