Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là giá trị của bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Phương pháp giải: Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có điểm cực tiểu là $A\left(x_0;y_0\right)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x_0\right)=0\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x_0\right)>0\\ f\left(x_0\right)=y_0\end{array}\right.$.

Giải chi tiết: Ta có: $y=x^3-2m{x}^2+m^{2}x+n\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-4mx+m^2,y^{\text{'}\text{'}}=6x-4m$.

Đồ thị hàm số $y=x^3-2m{x}^2+m^{2}x+n$ có điểm cực tiểu là $A\left(1;3\right)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)>0\\ f\left(1\right)=3\end{array}\right.$.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3-4m+m^2=0\\ 6-4m>0\\ 1-2m+m^2+n=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=3\\ m=1\end{array}\right.\\ m<\frac{3}{2}\\ n=3-{\left(m-1\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=3\end{array}\right.$.

Vậy $m+n=1+3=4$.