Thể tích của khối tròn xoay tạo thành tính tổng

* Hướng dẫn giải

Đáp án: $T=44$

Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right),x=a,x=b$ quanh trục Ox là: $V=\pi .\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$.

Đưa tích phân cần tính về dạng $V=\frac{a\pi }{b}$, và tìm ra các hệ số a và b, thay vào tính tổng $a+b$.

Giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của $y=\sqrt{x},y=-x$ là $\sqrt{x}=-x\iff x=0$.

Khi đó, thể tích cần tính là $V=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(-x\right)}^2\right|\text{d}x=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|x-x^2\right|\text{d}x$

$=\pi \underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|x-x^2\right|\text{d}x+\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-x^2\right|\text{d}x=\pi \underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(x^2-x\right)\text{d}x+\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x-x^2\right)\text{d}x$

$={\left.\pi \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_1^4+{\left.\pi \left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^1=\frac{41\pi }{3}=\frac{a\pi }{b}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=41\\ b=3\end{array}\right.$.

Vậy $T=44$.