Cho các số dương x, y thỏa mãn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đáp án: $\frac{12}{7}$

Phương pháp giải: - Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn $x^3$ theo $y$.

- Thế vào biểu thức $P$, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức $P$.

Giải chi tiết: Ta có: $2^{x^3-y+1}=\frac{2x+y}{2x^3+4x+4}$

$\iff 2^{x^3+2x+2-2x-y-1}=\frac{2x+y}{2x^3+4x+4}$

$\iff \frac{2^{x^3+2x+2}}{2^{2x+y}.2}=\frac{2x+y}{2\left(x^3+2x+2\right)}$

$\iff 2^{x^3+2x+2}\left(x^3+2x+2\right)=2^{2x+y}.\left(2x+y\right)\left(*\right)$

Xét $f\left(t\right)=2^t.t,t>0$ ta có: $f^{\text{'}}\left(t\right)=2^t+t{.2}^t.\ln 2>0;\forall t>0$.

Do đó hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

Do đó $\left(*\right)\iff x^3+2x+2=2x+y\Rightarrow x^3=y-2$.

Khi đó $P=\frac{7}{y}+\frac{x^3}{7}=\frac{7}{y}+\frac{y-2}{7}=\frac{7}{y}+\frac{y}{7}-\frac{2}{7}\ge 2\sqrt{\frac{7}{y}.\frac{y}{7}}-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}$.

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{7}{y}=\frac{y}{7}\iff y=7\left(doy>0\right)$.