Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B'C

Đáp án: $d=\frac{1}{\sqrt{7}}$

Phương pháp giải: +) Gọi N là trung điểm của $B{B}^{\text{'}}$, đưa bài toán về tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng.

$\Rightarrow \left(AMN\right)//B^{\text{'}}C\Rightarrow d\left(AM;B^{\text{'}}C\right)=d\left(B^{\text{'}}C;\left(AMN\right)\right)=d\left(C;\left(AMN\right)\right)$

+) $d\left(C;\left(AMN\right)\right)=\frac{3V_{NAMC}}{S_{AMN}}$.

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của $B{B}^{\text{'}}$ $\Rightarrow MN//B^{\text{'}}C$

$\Rightarrow \left(AMN\right)//B^{\text{'}}C\Rightarrow d\left(AM;B^{\text{'}}C\right)=d\left(B^{\text{'}}C;\left(AMN\right)\right)=d\left(C;\left(AMN\right)\right)$  

Tam giác vuông ABC có $AB=BC=1\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại B $\Rightarrow AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Xét tam giác vuông $B{B}^{\text{'}}C$ có: $B^{\text{'}}C=\sqrt{B{B^{\text{'}}}^2+B{C}^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}\Rightarrow MN=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác vuông ABN có: $AN=\sqrt{A{B}^2+B{N}^2}=\sqrt{1^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow S_{AMN}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\frac{\sqrt{14}}{8}$

Ta có: $S_{AMC}=\frac{1}{2}AB.MC=\frac{1}{2}\mathrm{.1.}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{NAMC}=\frac{1}{3}NM.S_{AMC}=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{24}$