Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a.

Câu hỏi :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng  trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng  một góc 30°. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng  theo a.

* Đáp án

D

* Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi $O=AC\cap BD$.

Ta có $\Delta ABC$ đều cạnh a có H là trọng tâm

$\Rightarrow BO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $CH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, $HD=\frac{4}{3}BO=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Mặt khác, $\left(\widehat{SD,\left(ABCD\right)}\right)=\widehat{SDH}=30°$

$\Rightarrow SH=HD.\tan \widehat{SDH}=\frac{2a}{3}$

Lại có $CH\perp AB\Rightarrow CH\perp CD$.

Kẻ $HK\perp SC\left(K\in SC\right)$. 

Ta có $\left\{\begin{array}{l}SH\perp CD\\ CH\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SHC\right)\Rightarrow HK\perp CD$

$\Rightarrow HK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d_{\left(H,\left(SCD\right)\right)}=HK=\frac{SH.HC}{\sqrt{S{H}^2+H{C}^2}}=\frac{2a\sqrt{21}}{21}$

Mà $\frac{d_{\left(H,\left(SCD\right)\right)}}{d_{\left(B,\left(SCD\right)\right)}}=\frac{HD}{BD}=\frac{2}{3}\Rightarrow d_{\left(B,\left(SCD\right)\right)}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$