Tính chiều dài nhỏ nhất của cái thang để nó có thể dựa vào tường và bắc qua cột đỡ cao 4m.

Câu hỏi :

Tính chiều dài nhỏ nhất của cái thang để nó có thể dựa vào tường và bắc qua cột đỡ cao 4m. Biết cột đỡ song song và cách tường 0,5m, mặt phẳng chứa tường vuông góc với mặt đất, bỏ qua độ dày của cột đỡ.

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Giả sử, ta đặt tên các điểm và góc như hình vẽ. Ta có $AM=\frac{1}{2\cos \alpha };MB=\frac{4}{\sin \alpha }$ với  $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ Chiều dài của thang là $\begin{array}{l}l\left(\alpha \right)=AB=AM+MB=\frac{4}{\sin \alpha }+\frac{1}{2\cos \alpha }\\ \Rightarrow l\text{'}\left(\alpha \right)=\frac{-8{\cos }^3\alpha +{\sin }^3\alpha }{2{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha }\end{array}$

$\Rightarrow l\text{'}\left(\alpha \right)=0\iff \tan \alpha =2\iff \left\{\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right.$ 

Chiều dài nhỏ nhất của thang là $\min l\left(\alpha \right)=2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$ 

Chọn B