Cho đường thẳng delta: x-2/2 = y-1/2 = z+3/-3

* Hướng dẫn giải

Ta thấy $M\left(2;1;-3\right);N\left(4;3;-6\right)\in \Delta$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}\left(1;2;-2\right);\overrightarrow{AN}\left(3;4;-5\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AN}\right]=\overrightarrow{n_1}=\left(-2;-1;-2\right)$ $\Rightarrow$ Mặt phẳng (AMN) (hay (ACD)) đi qua điểm $A\left(1;-1;-1\right)$ và nhận $\overrightarrow{n_1}\left(-2;-1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: $2x+y+2z+1=0$ 

Tương tự, ta có phương trình$\left(BCD\right):x+2y+2z+2=0$ 

Gọi tâm mặt cầu là $I\left(m;0;0\right)\left(m>0\right)$ 

Vì mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD nên$d\left(I;\left(ACD\right)\right)=d\left(I;\left(BCD\right)\right)\iff \frac{\left|2m+1\right|}{3}=\frac{\left|m+2\right|}{3}\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\left(L\right)\end{array}\right.$ $\Rightarrow I\left(1;0;0\right)$ và $d\left(I;\left(BCD\right)\right)=1$ 

Gọi $C\left(2t+2;2t+1;-3t-3\right)\in \Delta$ 

Ta có $\overrightarrow{AB}\left(-3;0;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2t+1;2t+2;-3t-2\right)$ 

$\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\overrightarrow{n_2}=\left(-4t-4;-5t-4;-6t-6\right)$ 

$\Rightarrow$ Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1;-1;-1) và nhận $\overrightarrow{n_2}\left(-4t-4;-5t-4;-6t-6\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: $\left(4t+4\right)x+\left(5t+4\right)y+\left(6t+6\right)z+7t+6=0$ 

Vì mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD nên$d\left(I;\left(ABC\right)\right)=d\left(I;\left(BCD\right)\right)=1\Rightarrow \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=-\frac{8}{11}\end{array}\right.\Rightarrow CD=\frac{3\sqrt{17}}{11}.$ Chọn B