Cho tứ diện ABCD có góc DAB= góc CBD =90 độ; AC=a* căn bậc hai của 5; góc ABC =135 độ .

Dựng $DH\perp \left(ABC\right)$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BA\perp DA\\ BA\perp DH\end{array}\right.\Rightarrow BA\perp \left(DAH\right)\Rightarrow BA\perp AH$.

Tương tự $\left\{\begin{array}{l}BC\perp DB\\ BC\perp DH\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(DBH\right)\Rightarrow BC\perp BH$

Tam giác AHB có $AB=a,\widehat{ABH}=45°$

$\Rightarrow \Delta HAB$ vuông cân tại $A\Rightarrow AH=AB=a$.

Áp dụng định lý cosin, ta có $BC=a\sqrt{2}$.

Vậy $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BA.BC.\sin \widehat{CBA}=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2}{2}$.

Dựng $\left\{\begin{array}{l}HE\perp DA\\ HF\perp DB\end{array}\right.\Rightarrow HE\perp \left(DAB\right)$ và $HF\perp \left(DBC\right)$.

Suy ra $\left(\widehat{\left(DBA\right),\left(DBC\right)}\right)=\widehat{\left(HE,HF\right)}=\widehat{EHF}$ và tam giác HEF vuông tại E.

Đặt $DH=x$, khi đó $HE=\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}},HF=\frac{xa\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+x^2}}$.

Suy ra $\cos \widehat{EHF}=\frac{HE}{HF}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{x^2+2a^2}}{\sqrt{2x^2+2a^2}}\Rightarrow x=a$

Vậy $V_{ABCD}=\frac{1}{3}.DH.S_{\Delta ABC}=\frac{a^3}{6}$.

Chọn D