Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là căn bậc hai của 2,

Xét trường hợp tổng quát là bốn mặt cầu có bán kính r.

Gọi tâm các mặt cầu là S, A, B, C, trong đó S là tâm của mặt cầu trên cùng. Do các mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau nên S.ABC là chóp đều cạnh 2r.

Gọi I là tâm của tam giác ABC, khi đó SI vuông góc với mặt phẳng (ABC) và $AI=\frac{2r\sqrt{3}}{3}$.

Tam giác SAI vuông tại I, có

$SI=\sqrt{S{A}^2-A{I}^2}=\sqrt{4r^2-{\left(\frac{2r\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{2r\sqrt{6}}{3}$.

Kẻ đường sinh JP của hình nón tiếp xúc với hai mặt cầu tâm S và tâm A lần lượt tại H, K.

Ta có $\Delta SAI~\Delta JSH$(g-g) nên $\frac{SJ}{SA}=\frac{SH}{AI}$.

$\Rightarrow SJ=\frac{SA.SH}{AI}=2r.r.\frac{3}{2r\sqrt{3}}=r\sqrt{3}$.

Chiều cao của khối nón là

 $h=JS+SI+IO=r\sqrt{3}+\frac{2r\sqrt{6}}{3}+r=r\left(1+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

Bán kính khối nón là $R=OP=JO.\tan \widehat{SJH}$.

$\begin{array}{l}\iff R=h.\tan ASI=r\left(1+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right).\frac{AI}{SI}\\ =r\left(1+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right).\frac{2r\sqrt{3}}{3}.\frac{3}{2r\sqrt{6}}=r\left(1+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$

Áp dụng với $r=\sqrt{2}$ ta được $R=\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}.\left(1+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)=1+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Chọn C