Cho hàm số y=2x+1/x+1 , gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C)

Ta có $I\left(-1;2\right)$; $M\left(a;\frac{2a+1}{a+1}\right)$. Lại có, ${y^{\text{'}}}_{\left(a\right)}=\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}$.

Phương trình tiếp tuyến tại M: $y=\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}\left(x-a\right)+\frac{2a+1}{a+1}$.

Giao của tiếp tuyến và tiệm cận đứng $A\left(-1;\frac{2a}{a+1}\right)$.

Giao của tiếp tuyến và tiệm cận ngang $B\left(2a+1;2\right)$.

Ta có $IA=\frac{2}{\left|a+1\right|}$; $IB=2\left|a+1\right|$; $S_{\Delta IAB}=\frac{1}{2}IA.IB=2=p.r$;

$p=IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}\ge 2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}=2\sqrt{4}+\sqrt{2.4}$.

Suy ra $r_{\max }$ khi $p_{\min }$. Khi đó IA=IB. Suy ra M là giao điểm của đường thẳng d đi qua I có hệ số góc k=-1 và đồ thị hàm số.

Phương trình qua d có dạng $y-2=-1\left(x+1\right)\iff y=-x+1$

Hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

$-x+1=\frac{2x+1}{x+1}\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}M\left(0;1\right)\\ M\left(-2;3\right)\end{array}\right.\Rightarrow a+b=1$.

Chọn B